Polynomial Upwind Schemes for Hyperbolic Systems

In this paper, we present an upwinding methodology for systems of conservation laws. Our aim is to construct upwind schemes which do not require the extraction of the eigensystem of the jacobian matrix (but just the knowledge of the eigenvalues) and rely on the introduction of an appropriate polynomial approximation. @U @t + @F(U) @x = 0; t > 0; x 2 I R ; (1) avec U(x; t) un etat de l'espace des phases U I R p. Si on consid ere une condition initiale du type U(x; 0) = La r esolution de ce probl eme de Riemann lin earis e autour d'un etat moyen entre U L et U R fait intervenir p ondes s epar ees par p + 1 etats interm ediaires. La fonction ux num erique r esultante est donn ee par (3). L'inconv enient de cette m ethode est qu'elle n ecessite de conna^ tre analytiquement la d ecomposition spectrale de la matrice de Roe, ce qui n'est pas toujours simple. Aussi dans certains sch emas 3], la matrice de Roe est remplac ee par la matrice jacobienne du ux de (1) calcul ee sur un etat moyen (U) (on choisit souvent une simple moyenne arithm etique), ce qui aboutit au ux num erique (4). Toutefois, m^ eme dans ce cas, il subsiste le probl eme du calcul num erique des vecteurs propres, qui repr esente souvent un co^ ut important en temps calcul. Notre m ethode consiste a construire une approximation polyn^ omiale de j @F @U (U)j sans extraire le syst eme propre de la matrice. On 2 choisit pour cela des polyn^ omes qui interpolent les valeurs absolues de valeurs propres de la matrice jacobienne. Pour un probl eme 1D, le sch ema (6) avec le ux num erique : ce genre de probl eme.